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Beispielaufgaben aus der Linkebene


Potenzwert ohne Taschenrechner nach "www.isb-gym8-lehrplan.de":Bayerisches Kultusministerium
Gib den Potenzwert ohne Verwendung des Taschenrechners an:
  1. `8^(2/3)`
  2. `4^-(1/2)`
  3. `root 7 128`
  4. `1024^-(3/10)`
  5. `0,04^(2/3)`
  6. `root 4 0.0001`
  7. `(root 3 512)^2`
  8. `8^-0.2:0.25^-0.2`



Tipps dazu
  1. `8^(2/3)=(root 3 8)^2
  2. `4^-(1/2)=1/4^(1/2)
  3. Welche Zahl ergibt siebenmal mit sich selbst multiplziert 128?
  4. `1/(root 10 1024)^3
  5. `(sqrt 0.04)^3
  6. Bei Dezimalbrüchen hat das Produkt genau so viele Dezimalen, wie alle Faktoren zusammen
  7. `512 = 2^9`
  8. Geteilt-Zeichen durch Bruch ersetzen; Potenzgesetz anwenden



Lösungen dazu
  1. `4`
  2. `1/2`
  3. `2`
  4. `1/8`
  5. `0.008`
  6. `0.1`
  7. `64`
  8. `1/2`



Äquivalenz von Potenztermen
Sind die folgenden Terme äquivalent?
`(root 4 x)^2` und `root 4 (x^2)`


Tipp dazu
Welche x sind erlaubt?


Lösung
Der rechte Term ist für negative x definiert, der linke nicht.
Beide Terme sind auf `RR_o^"+"` äquivalent.


Zusammenfassen von Termen
Fasse so weit wie möglich zusammen.
  1. `root 3 (z*root 4 (1/z))`
  2. `root 3 (8e^6)*(e^(3/5))^(-10/3)`
  3. `y^(-1/2)*y^-0.75*(root 4 y)^5`
  4. `u^-0.5:(u^(-1/3)*u^(-1/6))`



Tipp dazu
Wandle die Exponenten in Bruchschreibweise um und wende die Potenzgesetze an.


Lösung
  1. `root 3 (z*1^(1/4)/z^(1/4)) = (z*z^(-1/4))^(1/3) = (z^(3/4))^(1/3) = z^(1/4) = root 4 z`
  2. `(8e^6)^(1/3)*e^(3/5*(-10/3)) =8^(1/3)*e^(6/3)*e^(-10/5)=2*e^2*e^-2=2`
  3. `y^(-1/2)*y^(-3/4)*y^(5/4)=y^(-1/2-3/4+5/4) =y^(-5/4+5/4)=y^0 = 1`
  4. `u^(-3/6):(u^(-2/6)*u^(-1/6))=u^(-3/6):u^ (-3/6)=1`



Bestimme die Lösungsmenge der einfachen Potenzgleichungen
  1. `root 5 x = 3`
  2. `root 5 x = -3`
  3. `x^(3/2)=27`
  4. `x^(-2/3)=1/8`
  5. `x^(-1/2)`<`1/2`



Tipps zur Bestimmung der Lösungsmenge einfacher Potenzgleichungen
Überlege dir vorher die Definitionsmenge.
  1. Welches ist die Gegenoperation zum Wurzelziehen?
  2. Was ist im Vergleich zur Teilaufgabe a. anders?
  3. Wende auf beiden Seiten eine Potenzregel so an, dass links `x^1` steht
  4. Wende auf beiden Seiten eine Potenzregel so an, dass links `x^1` steht
  5. Wandle die Potenz in eine andere Schreibweise um.



Lösungen zur Bestimmung der Lösungsmenge einfacher Potenzgleichungen
  1. `x in RR`: `x^(1/5) = 3 iff (x^(1/5))^5 = 3^5 iff x = 3^5`
  2. `x in RR`: `x^(1/5) = -3 iff (x^(1/5))^5 = (-3)^5 iff x = 3^5`
  3. `x in RR_0^"+"`:`(x^(3/2))^(2/3) = 27^(2/3) iff x = (root 3 27)^2 = 9`
  4. `x in RR` : `x^(2/3) = 8 iff (x^(2/3))^(3/2) = 8^(3/2) = sqrt( 8^3) = 16 sqrt 2`
  5. `x in RR^"+"`: `1/sqrt x lt 1/2 iff sqrt x > 2 iff x > 4`
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