Die natürliche Exponentialfunktion
Vermutung 1:
Die Ableitung einer Exp.-fkt ist wieder eine Exp.-fkt.
Nachweis:
$$f'(x) = lim_(h->0) (a^(x+h)-a^x)/h$$
` = lim_(h->0)(a^x*a^h-a^x)/h`
` = a^x * lim_(h->0) (a^h-1)/h`
` = a^x * lim_(h->0) (a^(0+h)-a^0)/h`
` = a^x * f'(0)`
Für eine natürliche Exponentialfunktion `f(x) = a^x` gilt:
`f'(x) = c * f(x)`; `c in RR`
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Vermutung 2:
Es gibt eine Exp.-fkt. mit: `f'(x) = f(x)`. Also c = 1:
`f'(0) = lim_(h->0) (a^(0+h)-a^0)/h = lim_(h->0) (a^h-1)/h = 1`
wenn h sehr klein muss also gelten:
`a^h-1 approx h`
`a^h approx h + 1`
`a approx (h+1)^(1/h)`
oder für `n = 1/h`
`a = lim_(n->oo)(1/n+1)^n = 2,71818284... =: e`
e ist die Eulersche Zahl und
Die Ableitung von `e^x` ist wieder `e^x`
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