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Modellierungsaufgaben (Lsg)
- `sin(k*pi) = 0` mit `k in ZZ`, also auch `sin(3*k*pi)` und `sin(5*k*pi)`, so dass die gesamte Summe bei Vielfachen von `pi` Null ist.
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Querschnittsfläche im Modell:
`A = | int_(-pi)^0 sin(x) + 1/3 sin(3x) + 1/5 sin(5) dx | = | [-cos(x) - 1/9 cos(3x) - 1/25 cos(5x)]_(-pi)^0 |`
` = |(-1 - 1/9 - 1/25 - (1 + 1/9 + 1/25))| = 2/225*(225 + 25 + 9) = 518/225 = 2.3`
Einer Flächeneinheit des Modells entsprechen `10m*10m` in der Realität, d.h. für die Querschnittsfläche ergibt sich `Q = 2.3*100 m^2 = 230 m^2`.
Die gesamte Wassermenge auf einen Kilometer ist dann: `V = 230 m^2*1000 m = 230*10^3 m^3 = 230 000 m^3`
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`f'(x) = cos(x) + cos(3x) + cos(5x)`
`f'(0) = 1 + 1 + 1 = 3 = tan(alpha) => alpha = 71.57°`
- Benötigte Angaben:
`f(0.5) = 0.93; int_0^0.5 f(x) dx = 0.3`
Der Wasserstand darf also bis 0.93 reichen (den Normalwert um 9,3 m überschreiten). Dann stehen folgende zusätzliche Querschnittsflächen zur Verfügung:
- Rechtecksfläche oberhalb des normalen Wasserspiegels: `A_1 = pi*0.93 = 2.92`
- 2 Flächen oberhalb des Walls: `A_2 = 2 * (0.5*0.93 - int_0^0.5 f(x) dx) = 0.93 - 0.6 = 0.33`
Gesamte zusätzlich zur Verfügung stehende Querschnittsfläche: `A_3 = 2.92+0.33 = 3.25`
Gesamtfläche im Verhältnis zur ursrpünglichen Querschnittsfläche:`(3.25+2.3)/2.3 = 2.41`, es dürfen also etwa 140% mehr Wasser fließen.
Tatsächlich wäre der Wasserdruck auf die Deiche sehr groß.
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