Verträglichkeit mit den Grundrechenarten


Lässt sich das Wurzelziehen mit einzelnen Rechenarten vertauschen?

Untersuche:
`sqrt 21; sqrt 3*sqrt 7; sqrt 25; sqrt 9 + sqrt 16; sqrt 3/sqrt 2; sqrt 1.5; ...`


Vermutungen
`sqrt a * sqrt b = sqrt (a*b)`

`sqrt a / sqrt b = sqrt (a/b)`

`sqrt a + sqrt b ne sqrt (a+b)`




Hilfsmittel
Wenn für zwei positive reelle Zahlen gilt:

`p^2 = q^2`

dann gilt auch:

`p = q`

Warum müssen beide Zahlen positiv sein?


Beweise:
  1. `(sqrt a * sqrt b)^2 = sqrt a * sqrt b * sqrt a * sqrt b = sqrt a * sqrt a * sqrt b * sqrt b = a*b`

    `(sqrt (a*b))^2 = a*b`

    unter Benutzung des Hilfsmittels gilt also: `sqrt a*sqrt b = sqrt (a*b)`
  2. selbst ausprobieren...
  3. `sqrt 9 + sqrt 16 = 3 + 4 = 7 ne 5 = sqrt (9+16)`

    Wurzeln und Summen lassen sich nicht vertauschen. Oder:
    "Aus Differenzen und Summen radizieren nur die Dummen!"