Bedeutung von Brüchen im Exponenten


Quadratwurzeln in Potenzschreibweise
`(sqrt 3)^2 = 3 = 3^1`
Soll das Potenzgesetz `(a^b)^c = a^(b*c)` auch für Wurzeln gelten, so kann man schreiben:
`sqrt 3 = 3^q` q gesucht, dann gilt:
`(3^q)^2 = 3^1 = 3^(q*2)`
`=> q = 1/2`
`sqrt a = a^(1/2) = a^0.5`



Allgemeine Wurzeln in Potenzschreibweise
Die n-te Wurzel aus a ist diejenige Zahl, die n mal mit sich selbst multipliziert a ergibt:
`root 4 81 = 3`, denn `3^4 = 81`
`root 16 65536 = 2`, denn `2^16 = 65536`
`=> (root n a )^n = a`;
Soll das 3. Potenzgesetz wieder funktionieren, so gilt
`rootn a = a^(1/n)` dann passt es wie folgt:
`(a^(1/n))^n = a^(1/n*n) = a^1 = a`
`root n a = a^(1/n)`



Die Bedeutung von Brüchen im Exponenten
Nachdem nun für alle Wurzeln (alle Nenner) das dritte Potenzgesetz funktioniert, lässt es sich umgekehrt anwenden:
`81^(3/4) = (81^(1/4))^3 = (root 4 81)^3 = 3^3 = 27`
`65536^(3/16) = (65536^(1/16))^3 = (root 16 65536)^3 = 2^3 = 8`
Allgemeine Definition eines rationalen Exponenten:
`a^(p/q) = (root q a)^p`
  • Durch rationale Exponenten werden also keine neuen Zahlen gewonnen.
  • Der Bruch im Exponenten stellt nur eine wurzelfreie Schreibweise dar.