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Unabhängigkeit


Der Lehrplan legt Wert auf die Feststellung, dass dieses Kapitel (als Teil von bedingten WS) nicht in der Formel von Bayes münden muss. Ein Verständnis der Gegebenheiten für die Unabhängigkeit ist der sturen Formelanwendung vorzuziehen.


Vierfeldertafel als Aufhänger
Untersuchung des Zusammenhangs Raucher und Geschlecht:
1363 zufällig ausgewählte Männer und Frauen werden gefragt, ob sie rauchen. Das Ergebnis ist in folgender Tabelle festgehalten (M männlich W weiblich R Raucher $\bar R$ Nichtraucher).
MW`Sigma`
`R`285150435
`bar R`608320928
`Sigma`8934701363




`P(R) = 435/1363 = 31,9%` (Relative Häufigkeit einen Raucher zu befragen)
`P_M(R) = 285/893 = 31,9%` (Relative Häufigkeit unter den Männern einen Raucher zu erwischen)
`P_W(R) = 150/470 = 31,9%` (Relative Häufigkeit unter den Frauen eine Raucherin zu erwischen)

Man findet also sowohl unter den männlichen, wie unter den weiblichen Befragten den gleichen Raucheranteil, wie unter allen Befragten.

$P(R) = P_M(R) = P_W(R)$

Das Eintreten der Bedingung "männlich" beeinflusst die Raucherwahrscheinlichkeit nicht. Die Ereignisse sind stochastisch unabhängig.




Eine Quotientengleichheit verschiedener Spalten (oder Zeilen) einer Vierfeldertafel steht für die "stochastische Unabhängigkeit" der Ereignisse.



Formel von Bayes
Nur für unabhängige Ereignisse gilt also

`P_M(R) = P(R) \qquad` (Raucheranteil unter Männer ist Raucheranteil insgesamt)

`(P(R nn M))/(P(M)) = P(R) \qquad` (Formel für die bed. WS)

`P(R nn M) = P(R)*P(M) \qquad` (Formel für die stochastische Unabhängigkeit)


Quotientengleichheit auch für Zeilen
Schön lässt sich aus der Formel über die Symmetrie auch folgender Zusammenhang herleiten:
`P(M) = (P(R nn M))/(P(R)) = P_R(M)`
Dies zeigt, dass Quotientengleichheit auch in den Zeilen besteht.


Stochastische Abhängigkeit und Kausalität
Stellt sich durch stochastische Analyse heraus, dass zwei Größen abhängig sind, so muss natürlich keine Kausalität vorliegen.
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