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Tonsystem vs. Intervallsystem


Beim Durchlaufen des Quintenzirkels erreicht man alle Halbtöne des (wohltemperierten) europäischen Tonsystems:
c → g → d → a → e → h → f# → c# → g# → d#(es) → b → f → c
Eine Quinte und eine Oktave sind selbst für einen Laien gut zu hören. Warum also nicht Instrumente mit dem Quintenzirkel durchstimmen und dann die restlichen Töne über die Oktaven angleichen?
Tatsächlich ergeben sich Probleme, denn die Berechnung über Potenzen von 2 (Oktavierung) hat keine gemeinsamen Punkte mit der Berechnung über Potenzen von 1,5 (Quintenzirkel).


Frequenzberechnung über Quinten
Setzt man den Quitenzirkel (z.B. am Klavier) kontinuierlich nach oben an, so ergibt sich mit jedem Schritt:
`f' = 3:2 * f` (nächsthöhere Frequenz ist alte Frequenz multipliziert mit 1,5 )
also ergibt sich mit zwölf Quinten folgende Rechnung:
`f_text(12 Quinten) = (3/2)^12*f = 1.5^12*f = 129.75 f`

Die Frequenz des neuen Tons ist also ca. 129 mal so groß wie die des alten Tons.


Frequenzberechnung über Oktaven
Am Klavier lässt sich zeigen, dass der oben genannte Quitenzirkel bei einem C endet, dass sich 7 Oktaven oberhalb des Start-C.
`f' = 2^7 f = 128 f`.
Das obere C ist also tatsächlich das 128-fache des Start-Cs.


Auflösung
Tatsächlich werden die Quinten am Klavier nicht rein, sondern leicht unterhalb des Faktors 1,5 gestimmt. Daraus ergibt sich das "wohltemperierte" Klavier.
Die Quinte wird also über 7 Halbtonschritte berechnet und ergibt dann den Wert:
`(root 12 2)^7 = 1.4983070769`
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