Beweis aus Vermutung

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Vermutung

`f(x) = (u(x))/(v(x)) => f'(x) = (u'(x)*v(x) - v'(x)*u(x))/n(x)^2`

Beweis, Teil A

`f(x) = (u(x))/(v(x))`, dann

`f'(x) = lim_(h->0) (f(x+h)-f(x))/h = lim_(h->0) 1/h*((u(x+h))/(v(x+h))-(u(x))/(v(x)))`

`f'(x) = lim_(h->0) 1/h*((u(x+h)*v(x)-u(x)*v(x+h))/(v(x+h)*v(x)))`

`f'(x) = (lim_(h->0) 1/h*(u(x+h)*v(x)-u(x)*v(x+h)))/(v(x)*v(x))`

Beweis Teil B (Vermutung rückwärts)

`(u'(x)*v(x) - v'(x)*u(x))/(v(x)^2)` `=(lim_(h->0) 1/h*(u(x+h)-u(x))/h*v(x)-lim_(h->0) 1/h*(v(x+h)-v(x))/h*u(x))/(v(x)^2)`

`= (lim_(h->0) 1/h*(u(x+h)*v(x)-u(x)*v(x)-v(x+h)*u(x)+u(x)*v(x)))/(v(x)^2)`

`= (lim_(h->0) 1/h*(u(x+h)*v(x)-v(x+h)*u(x)))/(v(x)^2)`

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