Aus Summen- und Potenzregel

Erraten der Regel anhand eines Beispiels

`f(x) = (u(x))/(v(x)); D_f` so, dass `v(x) ne 0`.
Zusammenbasteln der Formel anhand des Erkennens von Bausteinen.
Dazu `u(x) = ax^2+b` und `v(x) = cx`
also `f(x) = (ax^2+b)/(cx)`
mit folgenden Bausteinen:

Term für	Funktion	Ableitung
`u(x)`	`ax^2+b`	`2ax`
`v(x)`	`cx`	`c`

Umbau der Funktion und Anwendung der Summen- und Potenzregel

`f(x) = (ax^2+b)/(cx) = a/c x + b/c x^-1`
`=> f'(x) = a/c - b/c x^-2

Umbau der Ableitung und Identifikation der Bausteine

auf gemeinsamen Nenner bringen:
`f'(x) = (ax^2)/(cx^2) - b/(cx^2)` (erster Bruch wurde mit x^2 erweitert)
Im Nenner steht fast v(x) zum Quadrat, also beide Brüche mit c erweitern:
`f'(x) = (ax^2*c)/(cx)^2 - (bc)/(cx)^2 = (a*x*x*c - b*c)/(cx)^2`
Betrachte den linken Summanden im Zähler hier steht `a*x*v(x)` das entspricht dem Produkt aus `u'(x)` mit `v(x)` bis auf den Faktor 2.
Um das perfekt zu machen wird im Zähler der gleiche Term dazuaddiert, damit der Zähler aber seinen Wert behält wird der gleiche Term am Ende wieder subtrahiert (ZAUBEREI!):
`f'(x) = (ax*cx + ax*cx - ax*cx - b*c )/(cx)^2 = (2*ax*cx - ax*cx - bc)/(cx)^2`
Aus dem zweiten und dritten Summanden im Zähler lässt sich noch c ausklammern:
`f'(x) = (2ax*cx - c*(ax^2+b))/(cx)^2` und alle Bausteine sind identifiziert!
`f'(x) = (u'(x)*v(x) - v'(x)*u(x))/(v(x))^2`.
Natürlich war das kein Beweis, sondern eine Vermutung.