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Standardabweichung


3 Notenverteilungen
Bei einem BMT ergeben sich in drei Klassen mit 30 Schülern die Schnitte 3.5 mit folgenden Verteilungen für
die Note des Tests eines zufällig ausgewählten Schülers:
10a10b10c
123456 123456 123456
`5/30``5/30``5/30``5/30``5/30``5/30``5/30``10/30``0/30``0/30``10/30``5/30``1/30``5/30``9/30``9/30``5/30``1/30`




Alle Notenverteilungen

Ein erstes Maß für die Streuung
  • Dafür sollte man die Abweichungen aller Zufallsgrößen vom Mittelwert nehmen
  • und deren Mittelwert berechnen
Also in der 10a:
`S(X) = (3.5-1)*1/6+(3.5-2)*1/6+(3.5-3)*1/6+(3.5-4)*1/6+(3.5-5)*1/6+(3.5-6)*1/6=0`
Funktioniert also nicht, weil die 'Linksabweichungen' die 'Rechtsabweichungen' ausgleichen!


Varianz und Standardabweichung
10a: `V(X) = (3.5-1)^2*1/6+(3.5-2)^2*1/6+(3.5-3)^2*1/6+(3.5-4)^2*1/6+(3.5-5)^2*1/6+(3.5-6)^2*1/6 = 2.92`
10b: `V(X) = 2.5^2*1/6+1.5^2*1/3+1.5^2*1/3+2.5^2*1/6 = 3.58`
10c: `V(X) = 2.5^2*1/30+1.5^2*1/6+0.5^2*3/10+0.5^2*3/10+1.5^2*1/6+2.5^2*1/30 = 1.32`
  • Funktioniert schon als Maß für die Streuung, die Zahl charakterisiert die Abweichung allerdings überproportional
  • Ein besseres Maß ist deshalb die Standardabweichung `sigma=sqrt V(x)`
10a: `sigma(X) = 1.71`; 10b: `sigma(X) = 1.89`; 10c: `sigma(X) = 1.15`


Definitionen
Die Streuung einer WV lässt sich beschreiben durch
Varianz: `text(Var(X)) = (x_1-mu)^2*P(X=x_1) + ... (x_n-mu)^2*P(X=x_n)`
Standardabweichung `sigma(X) = sqrt text(Var(X))` (gutes Maß für die Streuung)
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