Erwartungswert


Roulette: auf Rot setzen
Welche Gewinn/Verlust-Erwartung hat man bei häufigem Spielen?
Angenommen, jemand setzt beim Roulette in jedem Spiel 1€ auf rot und sein Gewinn wird mit einer Zufallsgröße modelliert: `Omega = {text(rot), bar text(rot)}`
`X: omega |-> text(Gewinn)` schaut dann so aus:
`omega``text(rot)``bar text(rot)`
x1-1
mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung:
x1-1
P(X=x)`18/37``19/37`
Die Wahrscheinlichkeit für nicht-Rot ist deshalb höher, weil der Euro bei der Null auch verloren ist.


Gewinnerwartung
Bei 3700 Spielen ist dann zu erwarten, dass man 1800mal gewinnt und 1900mal verliert:
Verlust: `1800*1 - 1900*(-1) = -100`
Rechnet man das auf ein Spiel herunter, so ergibt sich pro Spiel ein Erwartungswert von `(1*1800+(-1)*1900)/3700 = 1*1800/3700 + (-1)*1900/3700 = 1*18/37 + (-1)*19/37 = -1/37`
Im Mittel ist also ein Verlust von `1/37` Euro zu erwarten.


Allgemeine Berechnung
Wie wurde der Erwartungswert nun berechnet?
Der Erwartungswert berechnet sich aus der Summe der Produkte von Zufallsgröße und der zugehörigen Wahrscheinlichkeit:
`E(X) = x_1*P(X=x_1)+x_2*P(X=x_2)+...x_n*P(X=x_n)`



Beispiele für Erwartungswerte
  1. Münzwurf:
    `E(X) = 0*1/2 + 1*1/2 = 1/2` liegt also wie erwartet in der Mitte zwischen 0 und 1
  2. Augenzahl beim Wüfel:
    `E(X) = 1*1/6 + 2*1/6+...6*1/6 = 3.5`
  3. Würfelsumme:
    `E(X) = 2*1/36+3*2/36+...+7*6/36+...+11*2/36+12*1/36 = 7`