algebraisch abgekürzt


Allgemeine Berechnung eines Iterationsschrittes
`x_n` ist bekannt.
  • Bestimmung von `T_(n+1)(x)`
    • Steigung:
      `m = f'(x_n)`
    • Achsenabschnitt (Einsetzen des Punktes):
      `f(x_n) = f'(x_n)*x_n + t`
      `t = f(x_n) - f'(x_n)*x_n`
    • `T_(n+1)(x) = f'(x_n)*x + f(x_n) - f'(x_n)*x_n`
  • Nullstelle der Tangente:
    `0 = f'(x_n)*x + f(x_n) - f'(x_n)*x_n`
    Auflösen nach x:
    `f'(x_n)*x_n-f(x_n)=f'(x_n)*x`
    `x = (f'(x_n)*x_n-f(x_n))/f'(x_n)` oder
    `x = x_n-f(x_n)/(f'(x_n))`
Dieser x-Wert liegt dann im Allgemeinen näher an der Nullstelle.


Numerische Näherung an Nullstellen
Ist `x_n` eine beliebige Stelle, so liegt im Allgemeinen `x_(n+1) = x_n-f(x_n)/(f'(x_n))` näher an einer Nullstelle der Funktion.
(Newton-Verfahren)