Ein gleichwinkliges Dreieck ist gleichschenklig


Kongruenzbeweis über das Einzeichnen der Höhe
Satz: Wenn es in einem Dreieck zwei gleiche Winkel gibt, dann ist es gleichschenklig.
  • Voraussetzung: Zwei Winkel eines Dreiecks sind gleich: `alpha=beta`
  • Behauptung: Das Dreieck ist gleichschenklig
  • Beweis:
    • Hilfslinie: Lot von C auf [AB] ergibt den Schnittpunkt M
    • Betrachte die entstandenen Teildreiecke `Delta AMC` und `Delta BMC`
    • `bar(MC) = bar(MC)`
    • ` 90° = 90°`
    • `alpha = beta`
    • `Delta AMC` ~= `Delta BMC` (WWS)




Grafik zum Kongruenzbeweis

Kongruenzbeweis über das Einzeichnen der Winkelhalbierenden bei C
  • Voraussetzung: Zwei Winkel eines Dreiecks sind gleich `alpha = beta`
  • Behauptung das Dreieck ist gleichschenklig
  • Beweis:
    • Hilfslinie: Winkelhalbierende bei C auf [AB] ergibt den Schnittpunkt M
    • Betrachte die entstandenen Teildreiecke `Delta` AMC und `Delta` BMC:
    • `gamma_1 = gamma_2`
    • `bar(MC) = bar(MC)`
    • `alpha = beta`
    • `Delta`AMC `~= Delta`BMC (WWS)



Kongruenzbeweis über das Einzeichnen der Seitenhalbierenden
  • Voraussetzung: Zwei Winkel eines Dreiecks sind gleich `alpha = beta`
  • Behauptung das Dreieck ist gleichschenklig
  • Beweis:
    • Hilfslinie: Seitenhalbierende von C auf [AB] ergibt den Schnittpunkt M
    • Betrachte die entstandenen Teildreiecke `Delta` AMC und `Delta` BMC:
    • `bar(AM) = bar(BM)`
    • `bar(MC) = bar(MC)`
    • `alpha = beta`
    • `Delta`AMC `~= Delta`BMC (SsW)
Diese Variante ist ungünstig, da eine Kongruenz nur gewährleistet ist, wenn die Seitenhalbierende länger ist, als die halben Stücke der Seite c.