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Lokale Extrema
| Definition: Lokales Maximum |
Ein Funktion f hat an einer Stelle `x_0` ein lokales Maximum
genau dann wenn
es ein Umgebung `U(x_0)` gibt, so dass für alle `x in U(x_0)` gilt:
`f(x) le f(x_0)`
| Lokales Maximum: Beziehung zur Ableitungsfunktion |
Hat eine an einer Stelle `x_0`differenzierbare Funktion f a ndieser Stelle ein lokales Maximum
dann gilt:
`f'(x_0) = 0`
| Kriterien der Ableitungsfunktion |
Ist eine Funktion f differenzierbar in einer Umgebung `U(x_0)`, gilt `f'(x_0)=0` und für `x in U(x_0)`:
`x lt x_0 => f'(x) > 0` und `x > x_0 => f'(x) lt 0`
dann
hat f an der Stelle `x_0` ein lokales Maximum.
Üblicherweise ermittelt man lokale Extrema auf diese Weise über eine Vorzeichentabelle der Ableitungsfunktion.
| Kriterium der zweiten Ableitungsfunktion |
Ist eine Funktion f an einer Stelle `x_0` zweimal differenzierar und gilt:
`f'(x_0) = 0` und `f''(x_0) lt 0`
dann
hat die Funktion f an der Stelle `x_0` ein lokales Maximum.
Im Bayerischen Lehrplan wird diese Kriterium erst in der 12. Jahrgangsstufe eingeführt um Automatismen zu vermeiden.
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