Monotoniekriterium

Eine auf einem Intervall differenzierbare Funktion mit überall positiver Ableitung ist dort streng monoton wachsend.

Anmerkung 1

Die Umkehrung gilt nicht.
Gegenbeispiel: `f(x) = x^3` ist auf ganz `RR` streng monoton steigend, besitzt aber in `x=0` einen Punkt mit waagerechter Tangente (`f'(0)=0`).

Anmerkung 2

Es gibt eine Funktion, deren Ableitung in `x_o` mit `f'(x_o) > 0`, die aber in jeder noch so kleinen Umgebung um `x_o` nicht streng monoton wächst.

Das Monotoniekrietium ist auf einem Intervall definiert.

`f(x) = {(x + 2x^2*sin(1/x), text(für) x!=0),(0, text(für) x=0):}`
`f'(x) = 1 + 4*x*sin(1/x) - 2*cos(1/x) text( für ) x!=0` oszilliert umso schneller je näher bei 0 wg. `2*cos(1/x)`
Untersuchung von f'(0) mit Hilfe des Differentialquotienten:
`f'(0) = lim_(h->0)(f(x_o +h)-f(x_o))/h = lim_(h->0)(f(h)-f(0))/h = lim_(h->0)(h+2*h^2*sin(1/h)-0)/h`

Da `sin(x)` zwischen `-1` und `+1` schwankt gilt folgende Ungleichung:

`lim_(h->0)(h+2*h^2*(-1))/h le lim_(h->0)(f(h)-f(0))/h le lim_(h->0)(h+2*h^2*(+1))/h`
`lim_(h->0) 1-2h le lim_(h->0)(f(h)-f(0))/h le lim_(h->0) 1+2h`
`1 le lim_(h->0)(f(h)-f(0))/h le 1` also
`lim_(h->0)(f(h)-f(0))/h = 1`

Anmerkung 3: klassischer Beweis (über den Mittelwertsatz)

Satz: Ist `f'(x) > 0` für `x in [a,b]` und `f(x)'` differenzierbar in `]a,b[` dann ist f(x) streng mononton steigend.

Beweis: Angenommend f(x) ist nicht streng monoton steigend. Dann gibt es `x_1 lt x_2` mit `f(x_1) >= f(x_2)`. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung würde daraus sofort folgend, dass eine Stelle `x_0` existiert, an der gilt:
`f'(x_0) = (f(x_2)-f(x_1))/(x_2-x_1) le 0` WIDERSPRUCH!

Anmerkung 4: Aufgeweichte Form

Satz: `f'(x) >= 0 iff` f(x) ist monoton wachsend.