Einführung

Achilles und die Schildkröte

Achilles gibt der langsameren Schildkröte einen Vorsprung. Er kann sie dann niemals einholen, denn sie ist immer schon ein Stück weiter, wenn Achilles da ankommt, wo die Schildkröte vorher war.
Modellannahmen:

Achilles ist doppelt so schnell
Die Schildkröte hat einen Vorsprung von 8m
Achilles muss beim ersten Aufholen 8m zurücklegen
In dieser Zeit hat die Schildkröte 4m zurückgelegt
...

Berechne die zurückgelegten Wege von Achilles für sieben Mal "aufholen".

Nach 16m hat Achilles die Schildkröte eingeholt.

Zurückgelegter Weg von Achilles

Berechnung der zurückgelegten Meter: `8 + 4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...`

Positionen des Achilles

Eine neue Schreibweise

Die ersten drei Zahlen sind Zweierpotenzen: `2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0 + 1/2^1 + 1/2^2 + 1/2^3 + ...` oder mit neuer Schreibweise
`2^3 + 2^2 + 2^1 + 2^0 + 2^-1 + 2^-2 + 2^-3 + ...`

Negative Exponenten

`2^-1 = 1/2`; `2^-2 = 1/2^2 = 1/4`; `2^-3 = 1/2^3`; ...

`a^0 = 1`; `a^-1 = 1/a`; `a^-2 = 1/a^2`;
`a^-n = 1/a^n`, wenn `a != 0`