Lage von Ebenen im KOSY


Ursprungsebene
`E: vec X = ((4),(2),(7)) + lambda*((1),(2),(3)) + mu*((6),(0),(8))`
ist eine Ebene die durch den Ursprung geht.
  • mit Hilfe PG `vec O = vec X`, Bestimmung von `lambda` und `mu`
  • oder: umwandeln in KG:
`|(x_1-4,1,6),(x_2-2,2,0),(x_3-7,3,8)| = `
`(x_1-4)*(2*8-0)-(x_2-2)*(1*8-3*6)+(x_3-7)*(1*0-2*6) = `
`(x_1-4)*16-(x_2-2)*(-10)+(x_3-7)*(-12)= `
`16x_1-64+10x_2-20-12x_3+84 = `
`16x_1+10x_2-12x_3 = 0`

`8x_1+5x_2-6x_3=0` (Koordinatengleichung von E)

Ist der Ursprung enthalten?
`8*0+5*0-6*0 = 0`, der Ursprung ist enthalten, da `n_0 = 0` ist.

Eine Ebene geht genau dann durch den Ursprung, wenn `n_0` in der Koordinatengleichung 0 ist.



Parallelität zu Koordinatenebenen und -achsen
Beispiel für eine parallele Ebene in Parametergleichung:
`E_1: vec X = ((1),(2),(3))+lambda*((1),(0),(0))+mu*((0),(1),(0))` ist parallel zur `x_1x_2`-Ebene
umwandeln in Koordinatengleichung:
`|(x_1-1,1,0),(x_2-2,0,1),(x_3-3,0,0)| =`
`(x_1-1)*0-(x_2-2)*0+(x_3-3)*(1-0) = `

`x_3-3 = 0` (Koordinatengleichung von `E_1`)

Bedingung für die Punkte: `x_1` und `x_2` können beliebig gewählt werden, Hauptsache `x_3 = 3`
Sind `n_i` und `n_j` in der Koordinatengleichung 0, dann ist die Ebene parallel zu `x_ix_j`-Ebene



Die Parallelität zu einer Achse kann ebenso gezeigt werden und es ergibt sich
Ist `n_i` in der Koordinatengleichung 0, dann ist die Ebene parallel zu `x_i` Achse.



Achsenpunkte
... sind die Punkte, die eine Ebene mit den Koordinatenachsen gemeinsam hat.
(Wo die Ebene von den Achsen "durchstochen" wird!)
`E: vec X = ((0),(0),(1)) + lambda*((0),(2),(-1)) + mu*((3),(0),(-1))`
(Darstellung!)


Koordinatengleichung: `E: 2x_1+3x_2+6x_3-6 = 0`
Schnitt mit
  1. `x_1`-Achse: `x_2=x_3=0 => 2x_1-6 = 0 => x_1 = 3; S_(23)(3|0|0)`
  2. `x_2`-Achse: `x_1=x_3=0 => 3x_2-6 = 0 => x_2 = 2; S_(13)(0|2|0)`
  3. `x_3`-Achse: `x_1=x_2=0 => 6x_3-6 = 0 => x_3 = 1; S_(12)(0|0|1)`



Achsenabschnittsform
bringt man die Koordinatengleichung in die
Achsenabschnittsform
`x_1/a_1 + x_2/a_2 + x_3/a_3 = 1` so lassen sich die Achsenpunkte direkt mit
`(a_1|0|0)`, `(0|a_2|0)` und `(0|0|a_3)` ablesen.



für die oben genannte Ebene E gilt:
`2x_1+3x_2+6x_3-6=0 => 2x_1+3x_2+6x_3=6 => x_1/3+x_2/2+x_3/1=1`