Numerische Berechnung von Grenzwerten


Tangentensteigung von sin(x) im Nullpunkt
Wie groß ist die Steigung der Tangente der Funktion f(x) = sin(x) im Nullpunkt?



Sinusfunktion mit Tangente im Nullpunkt

Bildung des Differenzenquotienten
Ausgehend vom Nullpunkt soll die Steigung der Sekante berechnet werden:
`(f(0+h)-f(0))/h = (sin(0+h)-sin(0))/h = (sin(h)-sin(0))/h = sin(h)/h`
In diesem Term lässt h sich nicht kürzen, man kann also nicht unmittelbar h = 0 setzen. Stattdessen kann man versuchen, den Grenzwert zu erreichen, indem man die Entwicklung des Termwertes für immer kleiner werdendes h untersucht:
hsin(h)`sin(h)/h`
0,50,4794255390,958851077
0,20,1986693310,993346654
0,10,0998334170,998334166
0,050,0499791690,999583385
0,020,0199986670,999933335
0,010,0099998330,999983333
0,0050,0049999790,999995833
0,0020,0019999991
0,0010,0011
Also gilt: `lim_(h->0)sin(h)/h = 1`


Negative h-Werte
hsin(h)`sin(h)/h`
-0,5-0,4794255390,958851077
-0,2-0,1986693310,993346654
-0,1-0,0998334170,998334166
-0,05-0,0499791690,999583385
-0,02-0,0199986670,999933335
-0,01-0,0099998330,999983333
-0,005-0,0049999790,999995833
-0,002-0,0019999991
-0,001-0,0011
Also gilt auch für negative h: `lim_(h->0)sin(h)/h = 1`