Differenzierbarkeit
- Lässt sich immer ein Zahlenwert für die lokale Änderungsrate finden?
- Oder graphisch: kann man an jeden beliebigen Graphen in jedem Punkt eine Tangente anlegen?
- Wie muss ein Graph beschaffen sein, dass das nicht möglich ist?
| Die Betragsfunktion |
Sie ordnet jeder reellen Zahl ihren Betrag (also den Abstand zum Ursprung) zu.
Beispiele:
`f(+5) = 5`
`f(+2011) = 2011`
`f(-2011) = 2011`
`f(0) = 0`
Graph der Betragsfunktion
| Lokale Änderungsrate im Nullpunkt? |
- gibt es keine eindeutige Tangente
- ist `lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h = +1` für positives h
- ist `lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h = -1` für negatives h
| Differenzierbarkeit |
Eine Funktion f(x) heißt an einer Stelle `x_0` differenzierbar, wenn
`lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h` so existiert,
dass sich für positives und negatives h der gleiche Wert ergibt.
`lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h` so existiert,
dass sich für positives und negatives h der gleiche Wert ergibt.