Galtonbrett



Einfaches Galtonbrett mit 4 Ebenen

Versuchsbeschreibung
  • Die blaue Kugel soll über die Stecknadelreihe herabrollen.
  • An jeder Stecknadel ist mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% ein Fall nach links und mit 50% ein Fall nach rechts möglich
  • nach Kollision mit einer Stecknadel aus der untersten Reihe sind 5 (nummeriert von 0 bis 4) verschiedene Endpositionen für die Kugel möglich



Weg zur Wahrscheinlichkeitsverteilung
  • Verteilung schätzen lassen
  • Experiment durchführen
  • Verteilung systematisch untersuchen:
    • alle Wege sind gleich wahrscheinlich
    • die Wahrscheinlichkeit für einen Topf ergibt sich aus der Zahl der Wege, die zu diesem Topf führen
    • bestimme also diese Zahl
    • untersuche z.B. den Weg zum Topf 0:
      er kann nur erreicht werden, wenn die Kugel an jeder Nadel nach links fällt {LLLL}, der Topf ist nur über diesen einen Weg erreichbar
    • die gleichen Überlegungen gelten für den Topf 4 (Symmetrie!)
    • Topf 1 wird erreicht, wenn auf dem gesamten Weg genau einmal rechts abgebogen wird {RLLL},{LRLL},{LLRL} oder {LLLR}, das sind also 4 verschiedene Wege. Topf 3 genau umgekehrt.
    • Topf 3 besitzt so viele Wege, wie man 2 L und 2 R in einem Wort anordnen kann: `Z = (4!)/(2!*2!) = 6`




Baum zum Galtonbrett

Allgemeine Verteilung
Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich also zu:
`P(Topf k) = text(Anzahl Möglichkeiten k Rechtsabbiegungen auf den Weg zu verteilen)*0.5^k*0.5^(n-k)`
oder `P(k) = ((n),(k))*0.5^k*0.5^(n-k)`
Es ergibt sich also die Binomialverteilung für n, k und p=0.5.