`sqrt(1/3 x^5 + x^2)`
`1/3 x^3 + 1 >= 0 |*3` `x^3 + 3 >= 0 => x^3 >= -3 => x >= -root 3 3 = -1.44`
`1/3 x^5 + x^2 = 0` `x^2*( 1/3 x^3 + 1 ) = 0` 1. Fall: `x = 0` 2. Fall: `1/3 x^3 + 1 = 0 => x = -root 3 3` Nullstellen: `x_1 = - root 3 3; x_2 = 0`
`f'(x) = 1/2*(1/3 x^5 + x^2)^(-1/2)*(5/3 x^4 + 2 x) = (5/3 x^4 + 2 x)/(2*x*sqrt(1/3 x^3 + 1))` Die Ableitung ist bei `x = 0` und `x = -root 3 3` nicht definiert. Der Zähler wird Null wenn: `5/3 x^4 + 2 x = x*(5/3 x^3 + 2) = 0` 1. Fall: x = 0 nicht möglich, da hier nicht definiert. 2. Fall: `5/3 x^3 = -2 => x^3 = -6/5 => x = -root 3 (6/5) = -1.06`
`f'(-1.1) = 0.15 > 0 =>` monoton steigend in ]`-root 3 3`; `-root 3 (6/5)`[ `f'(-1) = -0.2 lt 0 =>` monoton fallend in ]`-root 3 (6/5)`;`0`[ `f'(+1) = 1.59 > 0 =>` monoton steigend in ]`0`; `+oo`[ Untersuchung der Ableitung an der Stelle 0: `lim_(x->0-0)f'(x)) = -1` und `lim_(x->0+0)f'(x) = +1`
`f'(x) = (5/3x^3+2)/2*(1/3 x^3 + 1)^(-(1/2)) = (5/6x^3+1)*(1/3 x^3 + 1)^(-(1/2))` und dann davon die Ableitung: Wurzelfunktion mit nicht differenzierbaren Stellen
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