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`sqrt(1/3 x^5 + x^2)`


Maximale Definitionsmenge
Der Term unter der Wurzel muss immer größer oder gleich Null sein. `1/3 x^5 + x^2 >= 0 |:x^2 > 0`
`1/3 x^3 + 1 >= 0 |*3`
`x^3 + 3 >= 0 => x^3 >= -3 => x >= -root 3 3 = -1.44`


Symmetrie
Einsetzen von -x ergibt: `f(-x) = sqrt(-1/3x^5 + x^2) ne -f(x)` und `f(-x) ne f(x)` also keine Symmetrie.


Nullstellen
Setze `f(x) = 0`: `sqrt( 1/3 x^5 + x^2 ) = 0`
`1/3 x^5 + x^2 = 0`
`x^2*( 1/3 x^3 + 1 ) = 0`
1. Fall: `x = 0`
2. Fall: `1/3 x^3 + 1 = 0 => x = -root 3 3`
Nullstellen: `x_1 = - root 3 3; x_2 = 0`


Waagerechte Tangenten
Bilden der Ableitungsfunktion: `f(x) = (1/3 x^5 + x^2)^(1/2)`
`f'(x) = 1/2*(1/3 x^5 + x^2)^(-1/2)*(5/3 x^4 + 2 x) = (5/3 x^4 + 2 x)/(2*x*sqrt(1/3 x^3 + 1))`
Die Ableitung ist bei `x = 0` und `x = -root 3 3` nicht definiert.
Der Zähler wird Null wenn:
`5/3 x^4 + 2 x = x*(5/3 x^3 + 2) = 0`
1. Fall: x = 0 nicht möglich, da hier nicht definiert.
2. Fall: `5/3 x^3 = -2 => x^3 = -6/5 => x = -root 3 (6/5) = -1.06`



Monotonie
Die Ableitung ist im Definitionsbereich stetig, deshalb reicht es eine Stelle links von `x = -1.06` zu untersuchen.
`f'(-1.1) = 0.15 > 0 =>` monoton steigend in ]`-root 3 3`; `-root 3 (6/5)`[
`f'(-1) = -0.2 lt 0 =>` monoton fallend in ]`-root 3 (6/5)`;`0`[
`f'(+1) = 1.59 > 0 =>` monoton steigend in ]`0`; `+oo`[
Untersuchung der Ableitung an der Stelle 0: `lim_(x->0-0)f'(x)) = -1` und `lim_(x->0+0)f'(x) = +1`


Hoch- und Tiefpunkte
x `x lt``- root 3 (6/5)``lt x lt``0``lt x`
sgn(f'(x)) +10-1n.def.+1
`G_f`steigtHOPfälltTIPsteigt
f(x) hat also in Null einen Tiefpunkt, obwohl f'(x) an dieser Stelle nicht definiert ist!


Flachpunkte
Zuerst wird die stetige Fortsetzung von `f'(x)` gebildet:
`f'(x) = (5/3x^3+2)/2*(1/3 x^3 + 1)^(-(1/2)) = (5/6x^3+1)*(1/3 x^3 + 1)^(-(1/2))` und dann davon die Ableitung:




Wurzelfunktion mit nicht differenzierbaren Stellen
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