Determinantenmethode für zwei Geraden


Idee
Mit der Determinante lassen sich drei Vektoren auf lineare Abhängigkeit testen. Betrachte also
  • den Aufpunktverbindungsvektor
  • den Richtungsvektor der einen Ebene
  • - " - der anderen Ebene
und untersuche deren lineare Abhängigkeit.


Beispiel 1: Sich schneidende Geraden
`g: vec X = ((1),(0),(0)) + lambda*((1),(0),(0))`
`h: vec X = ((0),(1),(0)) + mu*((0),(1),(0))`
Untersuchung der Determinante `|vec B - vec A, vec u, vec v|`:
`|(-1,1,0),(1,0,1),(0,0,0)| = 0`, da eine Zeile Null ist.



Zwei einfache, sich schneidende Geraden

Beispiel 2: Windschiefe Geraden
`g: vec X = ((1),(0),(0)) + lambda*((1),(0),(0))`
`h: vec X = ((0),(0),(1)) + mu*((0),(1),(0))`
Untersuchung der Determinante `|vec B - vec A, vec u, vec v|`:
`|(-1,1,0),(0,0,1),(1,0,0)| = 1 ne 0`, die drei Vektoren sind linear unabhängig, sie spannen einen Raum auf, da der Aufpunktverbindungsvektor nicht in der Ebene liegt, die von `vec u` und `vec v` aufgespannt wird.



Zwei einfache, windschiefe Geraden

Zusammenfassung
Liegen die drei Vektoren in einer Ebene, wie im ersten Fall, dann können die Geraden nur parallel oder identisch sein, oder einen Schnittpunkt haben.
Spannen die drei Vektoren einen Raum auf, wie im zweiten Fall, dann sind die Geraden windschief.
Ist `|vec B - vec A, vec u, vec v| = 0` so sind die Geraden identisch, parallel oder besitzen einen Schnittpunkt, ansonsten sind sie windschief.