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Beweis zur Ableitungsfunktion über Definition von e


Voraussetzungen
`e = lim_(u->0)(1+u)^(1/u)`
Definition der Ableitung: `f'(x) = (f(x+h)-f(x))/h`


Beweis
`d/dx ln(x) = lim_(h->0)(ln(x+h)-ln(x))/h = lim_(h->0)1/h*ln((x+h)/x) = lim_(h->0)ln((1+h/x)^(1/h))`
Substitution: `u:=h/x`
`d/dx ln(x) = lim_(u->0)ln((1+u)^(1/(ux)))= 1/x*lim_(u->0)ln((1+u)^(1/u)) = 1/x*ln(lim_(u->0)ln(1+u)^(1/u)) = 1/x*ln(e) = 1/x`
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