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Zweierpotenzen


Teilerbaum von 256
Zerlege die Zahl mittels eines Teilerbaums in Primfaktoren.



Entarteter Teilerbaum von 256

Baum?
Was ist unter einem Baum zu verstehen? Die dargestellte Struktur hat mehr die Form einer Schlange. Kann man eine Zerlegung finden, sodass der Baum achsensymmetrisch ist?
Dazu müsste die Zahl an einem Knoten in etwa gleichgroße Teile zerlegt werden:



Symmetrischer Teilerbaum von 256

Baumtiefe
Der neue Baum hat eine geringere Tiefe, es sind nur noch vier Ebenen übereinander. Entsprechend wird eine Primfaktorzerlegung von 256 kürzer.
vorher:

`256 = 2*128 = 2*2*64 = 2*2*2*32 = 2*2*2*2*16 = 2*2*2*2*2*8 = 2*2*2*2*2*2*4 = 2*2 * 2*2 * 2*2 * 2*2`

symmetrischer Baum:

`256 = 16*16 = 4*4 * 4*4 = 2*2 * 2*2 * 2*2 * 2*2`


Strategie für Primfaktorzerlegungen
Versuche die Zahl jeweils in Faktoren zu zerlegen, die ungefähr gleichgroß sind.



Wie viele Zahlen passen in eine bestimmte Speichermenge?
Die kleinste Einheit im Computer ist 1 Bit: es kann an oder aus sein. Damit lassen sich genau zwei verschiedene Zahlen speichern, z.B. 0 und 1. Wie viele Zahlen lassen sich in zwei Bits speichern? 2 Zahlen im ersten, 2 Zahlen im 2. Bit:
AusAus
AusAn
AnAus
AnAn
Es gibt also 4 Möglichkeiten oder die Zahlen von 0 bis 3. Bei drei Bits kann man diese 4 Möglichkeiten mit einem ausgeschalteten dritten Bit (4) und einem eingeschlateten 3. Bit kombinieren (4) macht also 8 Möglichkeiten.
Mit 4 Bits (Nibble genannt) kann man `2*8=16` Zahlen speichern und so weiter...
Wie viele verschiedene Zahlen lassen sich in einem Byte (8 Bits) speichern?

`2*2*2*2*2*2*2*2 = 2^8 = 256`



Speicherkapazität in Computern
Mit jedem Bit verdoppelt sich die Speicherkapazität.



Wie hoch wird ein Papierstapel?
Wenn man ein Blatt Papier faltet, dann ist das entstehende Blatt doppelt so dick. Angenommen, es lässt sich immer weiter falten, wie dick wäre es nach 40 mal falten?
12345678910
0,5mm1mm2mm4mm8mm16mm 32mm64mm128mm256mm512mm≈0,5m
nach 10 mal falten hat sich also die Dicke vertausendfacht.
nach weiteren 10 mal falten beträgt die Dicke also 0,5 km, nach weiteren 10 mal falten beträgt die Dicke 500 km und nach weiteren 10 mal falten wäre das Blatt 500 000 km dick (das ist mehr als die Entfernung Erde-Mond mit 384 000 km)
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