Senkrechte Asymptoten


Definitionslücken
Senkrechte Asymptoten ergeben sich, wenn der Nenner einer Funktion gegenüber dem Zähler beliebig klein werden kann:



Senkrechte Asymptoten

Untersuchung an der Definitionslücke
`f(x) = 1/(x+3)` `D_f` `= RR\\{-3}
`f(-2.5) = 2`
`f(-2.9) = 10`
`f(-2.99) = 100`
Der Graph steigt bei Annäherung an -3 stark an:
`lim_(x->3+0)->+oo`


Stetig hebbare Definitionslücken
`f(x) = (x^2-9)/(x+3)`
schaut auf den ersten Blick der oberen Funktion ähnlich. Aber `f(-2.5) = -5.5`
`f(-2.9) = -5.9`
`f(-2.99) = - 5.99`
denn der Graph ist nicht der einer echt gebrochen rationalen Funktion:
`f(x) = ((x+3)(x-3))/(x+3)`
`g(x) = bar(f(x)) = x-3` heißt stetige Fortsetzung von f.


Zusammenfassung: Asymptoten und Definitionslücken
Besitzt eine Funktion Definitionslücken aufgrund von Nullstellen des Nenners, so ergibt sich eine
  • hebbare Definitionslücke, wenn sich der Term mit der Nullstelle des Nenners kürzen lässt
  • senkrechte Asymptote, wenn das nicht der Fall ist



Vorgehensweise
  • Bestimme Nullstellen des Zählers und des Nenners
  • Pole (mit senkrechten Asymptoten) sind Nullstellen des Nennerpolynoms, die nicht Nullstellen im Zähler sind