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Definition der analytischen Tangente


Lokaler Tangentenbegriff über Approximation nach "Analysis verständlich unterrichten":Danckwerts, Vogel
Unter allen Geraden `g(x) = f(x_o) + m(x-x_o)` durch `(x_o,f(x_o))`
ist die Tangente diejenige die f lokal um `x_o` am besten approximiert,
da nur bei ihr der relative Fehler `(r(h))/h = (f(x_o +h)-g(x_o +h))/h` 0 wird, wenn h gegen 0 geht.



Allgemeine Begründung über den Steigungsbegriff
`(r(h))/h = (f( x_o +h) - g( x_o +h))/h = (f(x_o +h) - f(x_o) - m*h)/h`
bildet man nun den Grenzwert:
`lim_(h->0)(r(h))/h = lim_(h->0)((f(x_o +h) - f(x))/h - (m*h)/h) = lim_(h->0)((f(x_o +h) - f(x))/h - m)`
dann wird dieser Ausdruck nur Null, wenn m der Ableitung `f'(x_o)` an der Stelle `x_o` entspricht.
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