Ableitung von Potenzfunktionen mit rat. Exponenten


Erweiterung der Potenzregel auf ganzzahlige Exponenten
Die Potenzregel lautet:
`d/dx(x^n) = n*x^(n-1)` für `x in NN`.
Zu untersuchen ist, ob diese Regel auch für `n = 0` und allgemein für `n in ZZ` gilt.
  1. `n=0 => f(x) = x^0 = 1`. Der Graph ist eine waagerechte Gerade, die die y-Achse bei +1 schneidet. Eine waagerechte Gerade hat keine Steigung, es gilt also:
    `f'(x) = 0`.
    Würde das auch nach der Potenzregel funktionieren?
    `d/dx(x^0) = 0*x^-1 = 0` ♦ (für `x != 0`)
  2. Untersuchung von negativen Exponenten:
    `f(x) = x^-n = 1/x^n` für `n in NN` und `x in RR\\{0}`.
    Die Gültigkeit lässt sich also mit der Quotientenregel überprüfen:
    `d/dx(1/x^n) = (0*x^n - 1*n*x^(n-1))/((x^n)^2) = (-n*x^(n-1))/x^(2n) = -n*1/x^(n+1) = -n*x^-(n+1) = -n*x^(-n-1)` ♦



Potenzregel II
Für `x in "IR"\\{0}` und `z in ZZ` gilt:
`d/dx(x^z) = z*x^(z-1)`