Abituraufgaben zu 13/1

Abi 1998

1. Eine Reihe von grundlegenden Experimenten rückte zu Beginn unseres Jahrhunderts den Begriff „Atom“ in den Bereich des physikalisch Erfahrbaren und Erforschbaren. Die moderne Physik setzte an, das Reich des submikroskopisch Kleinen zu erobern. Zunächst war es dabei wichtig, eine Vorstellung von Ausdehnung und Abständen zu gewinnen.
   1. Stellen Sie die Grundidee des Ölfleckversuchs dar, so dass deutlich wird, auf welche Weise hierbei die Abschätzung der Größe eines Moleküls gelingt.
      
   Grundlegende Aussagen über die innere Struktur eines Atoms lieferten die Streuversuche von Rutherford. Bei diesen Versuchen wurden dünne Goldfolien mit α-Teilchen beschossen.
   2. Wie dick ist eine Goldfolie, bei der jeder Quadratmeter die Masse 2,0 g hat?
      [zur Kontrolle: d = 1,0⋅10^-7 m]
   3. Berechnen Sie die Masse eines Goldatoms unter Zuhilfenahme des Periodensystems.
      [zur Kontrolle: m_Au = 3,3⋅10^-25 kg]
   4. Beantworten Sie die beiden nachfolgenden Fragen unter der Annahme, dass die Goldatome Würfelform haben und möglichst dicht gepackt sind. Welches Volumen hat ein Goldatom und wie viele solcher „Goldwürfel“ liegen bei einer Folie der oben berechneten Dicke hintereinander?
   5. Nennen Sie die wesentlichen Beobachtungen, die Rutherford veranlassten, das nach ihm benannte Atommodell zu konzipieren, und beschreiben Sie dieses.
2. Ein Hauptmerkmal der Atome besteht darin, dass sie diskrete Energieniveaus besitzen, die für eine Atomsorte charakteristisch sind. Der Versuch von Franck und Hertz ist eines der Schlüsselexperimente für die Anregung zu „Quantensprüngen“.
   
   1. Erläutern Sie in Bezug auf obige Schaltskizze die Wirkungsweise der drei Schaltungsabschnitte mit den Spannungen U_H, U_B und U_G.
   2. Skizzieren und interpretieren Sie das für den Franck-Hertz-Versuch charakteristische Spannungs-Stromstärke-Diagramm.
   3. Die Interpretation des Franck-Hertz-Versuchs wird durch die Beobachtung bestätigt, dass aus der mit Quecksilberdampf gefüllten Röhre Strahlung mit der Wellenlänge λ = 254 nm emittiert wird. Erklären Sie das Zustandekommen dieser Strahlung. Berechnen Sie dazu auch die der Wellenlänge entsprechende Quantenenergie in eV.

Abi 1999

3. Im Jahr 1911 entwickelte Rutherford seine Vorstellungen vom Atom. Bereits 1913 wurden sie von Bohr weiterentwickelt.
   1. Erläutern Sie den wesentlichen Unterschied zwischen dem Rutherford´schen und dem Bohr´schen Atommodell für das Wasserstoffatom. Beiden Atommodellen ist gemeinsam, dass die Coulomb´sche Anziehungskraft zwischen Elektron und Kern die für die Kreisbewegung des Elektrons maßgebliche Zentripetalkraft darstellt.
   2. Berechnen Sie mit Hilfe eines Kraftansatzes, welche Geschwindigkeit man dem Elektron im Wasserstoffatom mit dem Durchmesser 1⋅10^–10 m zuordnen kann.
   3. Erläutern Sie, warum die Annahme, dass sich das Elektron des Wasserstoffatoms auf einer Kreisbahn bewegt, mit der klassischen Physik nicht vereinbar ist.
4. Das Linienspektrum eines Atoms steht in engem Zusammenhang mit dessen Energiestufen-Schema. Abbildung 1 zeigt Emissionslinien einer bestimmten Serie des Wasserstoff-Spektrums, Abbildung 2 stellt einen Ausschnitt aus dem Energiestufen-Schema des Wasserstoffatoms dar.
   
   
   
   
   
   
   1. Welcher Übergang im Energiestufen-Schema führt zur Emission der Linie α mit λ = 1,875 μm?
   2. Erklären Sie qualitativ das Zustandekommen der übrigen Linien dieser Serie.
   3. Bestätigen Sie durch Rechnung, dass die Wellenlänge der kurzwelligen Seriengrenze dieser Serie 0,82 μm beträgt. Ein H+ -Ion fängt ein freies Elektron mit geringer kinetischer Energie ( E_kin < 0,1eV ) ein, wobei ein Photon mit λ = 800 nm entsteht.
   4. Ermitteln Sie durch Rechnung und Vergleich mit Abbildung 2, auf welchem Energieniveau sich das Elektron unmittelbar nach dem Einfang befindet. [zur Kontrolle: n = 3]
   5. Berechnen Sie die Geschwindigkeit des Elektrons vor dem Einfang.
5. Elektronen treffen mit einheitlicher Geschwindigkeit senkrecht auf einen Doppelspalt. Auf einem Schirm dahinter entsteht ein Interferenzmuster, dessen Maxima 1. Ordnung den Abstand 10 μm voneinander haben. Der Abstand Doppelspalt–Schirm beträgt a = 0,48 m und der Mittenabstand der Spaltöffnungen b = 2,5 μm.
   1. Berechnen Sie an Hand einer beschrifteten Skizze die Wellenlänge λ, die den Elektronen in diesem Versuch zugeordnet werden kann.
      [zur Kontrolle: λ = 2,6⋅10^-11m ]
      
   Die verwendeten Elektronen wurden durch die Spannung U = 2,2 kV beschleunigt.
   2. Berechnen Sie nicht-relativistisch die de-Broglie-Wellenlänge unter Verwendung der Beschleunigungsspannung U.
   3. Nun wird die Beschleunigungsspannung vergrößert. Geben Sie qualitativ die Veränderung des Streifenmusters an.
   Die Versuchsdurchführung wird so abgeändert, dass sich immer nur ein Elektron auf dem Weg zwischen Quelle und Schirm befindet.
   4. Beschreiben Sie mit Hilfe von Skizzen, wie das Interferenzmuster im Laufe der Zeit entsteht.

Abitur 2000

6. Atomares Wasserstoffgas in einer Glaskapillare wird durch Stöße von Elektronen mit der kinetischen Energie 13,1 eV angeregt.
   1. Erklären Sie zunächst allgemein, was man unter „Anregung eines Atoms“ versteht, und führen Sie dann aus, welche anschauliche Vorstellung man sich im Rahmen des Bohr'schen Atommodells für das Wasserstoffatom von diesem Vorgang macht.
   2. Berechnen Sie für das Wasserstoffatom die Energiewerte für die fünf niedrigsten Anregungszustände bezogen auf das Nullniveau bei n = 1 in der Einheit eV und geben Sie an, welche Anregungszustände durch diese Stöße aus dem Grundzustand erreichbar sind.
   Die Anregung des Gases ruft die Emission elektromagnetischer Strahlung hervor. Die Linien des Wasserstoffatomspektrums gruppieren sich dabei zu so genannten Serien.
   3. Erklären Sie auf der Grundlage des Atommodells von Bohr die Entstehung der Linien der Balmer-Serie im Wasserstoffatomspektrum.
   4. Ermitteln Sie die Anzahl der Linien aus der Balmer-Serie im eingangs beschriebenen Versuch. Zeichnen Sie dazu einen geeigneten Ausschnitt des Energieniveauschemas. Berechnen Sie die kürzeste in diesem Versuch auftretende Wellenlänge der Balmer-Serie.
   Die gesamte auftretende Strahlungsleistung im sichtbaren Bereich beträgt 36 mW. Hiervon entfallen 1,9 % auf Licht mit der Wellenlänge 434 nm.
   5. Berechnen Sie, wie viele Photonen dieser zugeordneten Wellenlänge pro Sekunde emittiert werden.
   6. Skizzieren Sie eine Versuchsanordnung, mit der sich die von dem angeregten Wasserstoffgas ausgesandte Strahlung im sichtbaren Bereich spektral zerlegen lässt.

Abitur 2002

7. Elektronen mit der kinetischen Energie Ekin = 10,0 eV treffen auf ein Gas aus Wasserstoffatomen, die sich zum größeren Teil im Grundzustand, zum kleineren Teil im ersten angeregten Zustand befinden.
   1. Weisen Sie nach, dass die Wasserstoffatome im Grundzustand von den Elektronen nicht angeregt werden können.
   2. Zeigen Sie, dass die Wasserstoffatome im ersten angeregten Zustand von den Elektronen in jeden beliebigen höheren Zustand angeregt und auch ionisiert werden können.
   3. Geben Sie ein mögliches Verfahren an, um die kinetische Energie der Elektronen zu messen, nachdem sie durch das Wasserstoffgas geflogen sind.
   4. Erklären Sie, wie die drei Werte 10,0 eV, 8,1 eV und 7,5 eV im Energiespektrum dieser Elektronen zustande kommen.
   Ein Wasserstoffatom kann ein zusätzliches Elektron an sich binden, so dass ein H– -Ion entsteht. Bei diesem Vorgang wird ein Photon emittiert. Im Grundzustand des H– -Ions ist das überzählige Elektron mit 0,75 eV an das Wasserstoffatom gebunden.
   5. Erklären Sie, weshalb das bei der Bildung von H– -Ionen im Grundzustand auftretende Emissionsspektrum kontinuierlich mit einer langwelligen Grenze λL ist, und berechnen Sie λL.
   Durch Photonenabsorption können die H– -Ionen wieder in Wasserstoffatome und freie Elektronen zerlegt werden. Dabei zeigt die Absorption elektromagnetischer Strahlung durch H– bei λ = 850 nm ein Maximum.
   6. Berechnen Sie die kinetische Energie des frei gesetzten Elektrons, wenn ein H –-Ion im Grundzustand elektromagnetische Strahlung der Wellenlä nge 850 nm absorbiert.

Lösungen

1. Ölfleckversuch
   
   1. • Das Volumen eines Tropfen Öls wird durch Befüllen eines Kubikzentimetergefäßes bestimmt, indem man die Anzahl der Tropfen zählt, die dafür benötigt werden.
      • Ein Tropfen wird auf eine Wasseroberfläche gegeben, so dass er sich (nahezu) kreisförmig monomolekular verteilt.
      • Der entstehende Fleck hat ungefähr die Form eines Zylinders mit
        V = G⋅h_Molekül (G Grundfläche, h Höhe)
      • G kann durch Ausmessen des Flecks auf der Wasseroberfläche bestimmt werden:
        G = r²⋅π
      • Berechnung der "Molekülhöhe:
        

        hMolekül =	VTropfen
        	rFleck2⋅π

   2. geg.: m = 2,0⋅10^-3kg; A = 1,0m²
      ges.: d
      Lsg.:
      V_quader = A⋅d

      => d =	V
      	A

      ρ =	m	=> V =	m	=	2,0⋅10-3	m3 = 1,0⋅10-7m3
      	V		ρ		19,7⋅106

      => d = 1,0⋅10^-7m
   3. m = 198,7⋅1,66⋅10^-27kg = 3,3⋅10^-25kg
   4. Volumen eines Goldatomwürfels:
      
      V_atom : V_quader = m_atom : m_quader
      

      => Vatom = Vquader⋅	matom	= 1,0⋅10-7⋅	3,3⋅10-25	m3 = 1,65⋅10-29m3
      	mquader		2,0⋅10-3

      d_atom = √1,65⋅10^-29m = 2,5⋅10^-10m
   5. Aus den Streuexperimenten ergaben sich:
      • Viele α-Teilchen passierten die Folie ungestreut
      • Ein gewisser Prozentsatz wurde bis zu 180° zurückgestreut
      Folgerung: der größte Teil der Atommasse muss in einem sehr kleinen positiven Kern konzentriert sein.
      => Planetenmodell für den Kern und die Elektronen.
2. Franck-Hertz-Versuch
   
   1. • U_H: Heizspannung, hier werden Elektronen aus dem Heizdraht "geglüht".
      • U_b: Beschleunigungsspannung; In diesem Bereich werden die Elektronen auf Energien beschleunigt, die evtl. ausreichen, um mit den Hg-Atomen unelastisch zu stoßen.
        
      • U_G: Gegenspannung; dient dazu, Elektronen, die einen unelastischen Stoß hinter sich haben herauszufiltern.
        Denn nach dem Stoß reicht die vorhandene kinetische Energie zusammen mit der Beschleunigungsarbeit bis zur Anode unter Umständen nicht mehr aus, um gegen U_G anzukommen.
   2. Hinter 5eV, 10eV, 15eV ... bricht die Stromstärke jedesmal ein, da die Elektronen Energien erhalten, die zu einem(5eV), zwei(10eV), drei(15eV) oder mehr unelastischen Stößen auf dem Weg zur Anode führen können. Solche Elektronen besitzen keine kinetische Energie mehr, um die Gegenspannung zu überwinden, tragren also nicht mehr zur gemessenen Stromstärke bei.
   3. Die Strahlung entsteht durch einen inelastischen Stoß der Elektronen mit den Hg-Atomen. Die dabei von den Elektronen abgegebene Energie wird im Atom für einen "Schalenwechsel" eines Atomelektrons verwendet. Beim Rücksprung wird ein Photon der Wellenlänge λ emittiert.
      

      E =	hc	=	4,14⋅10-15⋅3,0⋅108	eV = 4,9eV
      	λ		254⋅10-9

3. Bohrmodell
   
   1. Das Rutherfordmodell vom Atom entspricht dem "Planetenmodell". Elektronen können sich auf beliebigen Bahnen um den Kern herum bewegen und beliebge Energien aufnehmen und abgeben.
      Nach dem Bohrmodell sind nur noch bestimmte Bahnen (Vielfache der de-Broglie-Wellenlänge) erlaubt, der Wechsel kann also nur mit dem Austausch festgelegter Energiewerte stattfinden.
      
   2. geg.: r = 5⋅10^-11m; Z=1;
      ges.: v;
      Lsg.:
        Ansatz für die Kreisbahn:
      

      mv2	=	1	⋅	Ze2
      r		4πεo		r2

      => v2 =	m Ze2
      	4πεo⋅r

      => v = √	m Ze2	= 2,0⋅106ms-1
      	4πεo⋅r

   3. Elektronen führen auf Kreisbahnen eine beschleunigte Bewegung aus. Beschleunigte Bewegungen von Ladungen führen aber zur Abstrahlung von elektromagnetischer Strahlung und somit zu Energieverlust.
      Die Elektronen müssten also in den Kern stürzen.
4. 1. 
      

      E =	hc	=	4,14⋅10-15⋅3,0⋅108	eV = 0,66eV
      	λ		1,875⋅10-6

      -0,85eV - (-1,51eV) = 0,66eV
      Das kann nur ein Übergang von der 4. auf die 3. Quantenbahn sein.
   2. Die einzelnen Linien entstehen durch Bahnwechsel eines Elektrons einer höheren Schale auf die 3. Schale. Die dabei freiwerdende Energie wird als Photon emittiert.
      Da es nur bestimmte Energieniveaus gibt, können auch nur fest definierte Energiedifferenzen freiwerden, die das ausgesendete Photon dann trägt. Da ein Photon mit festgelegter Energie genau eine bestimmte Wellenlänge besitzt, entstehen Linien im Emissionsspektrum des Atoms.
   3. Für die kurzwellige Seriengrenze gilt:
      Kürzeste Wellenlänge entspricht größter Energiedifferenz. Also muss ein Elektron von der Ionisationsgrenze auf die dritte Bahn "heruntergefallen" sein:
      => ΔE = 1,51eV

      => λ =	hc	=	4,14⋅10-15⋅3,0⋅108	m = 8,22⋅10-7m
      	ΔE		1,51

   4. ΔE =	hc	=	4,14⋅10-15⋅3,0⋅108	eV = 1,55eV
      	λ		800⋅10-9

      Da ein Elektron ohne kinetische Energie 1,51eV verlieren würde, muss es sich in diesem Fall um einen Sprung auf die 3. Bahn handeln.
   5. E_kin = 1,55eV - 1,51eV = 0,04eV = 6,4⋅10^-21J
      

      v = √	2 Ekin	= √	2⋅6,4⋅10-21	ms-1 = 120⋅103ms-1
      	m		9,1⋅10-31

5. 1. b = 2,5⋅10^-6m; x = 5⋅10^-6m; a = 0,48m; Kleinwinkelnäherung:
      

      k⋅λ	= sin α = tan α =	x
      b		a

      k = 1;

      => λ =	b⋅x	=	2,5⋅10-6 ⋅ 5⋅10-6	m = 2,6⋅10-11m
      	a		0,48

   2. 
      

      λ =	h	p = √2 e U m = √ 2 1,6⋅10-19 2,2⋅103 9,1⋅10-31 kgms-1 = 2,5⋅10-23 kgms-1
      	p

      λ =	h	=	6,63⋅10-34	m = 2,7⋅10-11m
      	p		2,5⋅10-23

   3. höhere Beschleunigungsspannung => höhere kinetische Energie => höherer Impuls => geringere Wellenlänge => kleinere Interferenzfigur
   4. Man sieht auf dem Schirm zuerst einzelne, scheinbar wahllos auftreffende Punkte. Mit der Zeit erkennt man ein Muster, da Elektronen in Maxima häufige auftreffen als in Minima.
      Die hellen Streifen auf dem Schirm entstehen also letzlich aus dem Auftreffen sehr vieler Elektronen.
6. 1. "Anregung eines Atoms" bedeutet, dem Atom eine Energiemenge zur Verfügung zu stellen, die das Atom aufnehmen kann, um einen energetisch höheren Zustand einzunehmen. Das Atom lässt sich nur mit bestimmten Energiewerten anregen.
      Bohr deutet die Anregung eines Atoms durch einen Sprung eines Elektrons im Atom von einer inneren auf eine äußere Schale. Da die Schalen fest definierte Bahnenergien besitzen, sind Übergänge nur möglich, wenn dem Atom eine Energie angeboten wird, die dem Übergang von einer besetzten auf eine freie Schale höherer Energie entspricht.
      Im H-Atom im Grundzustand befindet sich ein Elektron auf der innersten Schale mit der Bindungsenergie -13,6eV. Anregung bedeutet, Energien zuzuführen, die einem Wechsel auf höherenergetische Bahnen (-3,4eV; -1,51eV, -085eV, ...) entsprechen.
   2. Die Formel für die Bahnenergien lautet:
      

      En =	-13,6 eV
      	n2

      Daraus ergeben sich folgende Niveaus und Energiedifferenzen

      n	En in eV	ΔE zu n=1 in eV
      1	-13,6	0
      2	-3,4	10,2
      3	-1,51	12,09
      4	-0,85	12,75
      5	-0,544	13,056
      6	-0,378	13,222

      
      Mit 13,222eV > 13,1eV können keine Anregungen aus dem Grundzustand in die 6. Bahn stattfinden.
   3. Die Balmer-Serie entsteht durch Übergang von einer äußeren Bahn(n > 2) auf die 2. Quantenbahn.
      
   4. Da die höchstmögliche Bahn bei n=5 liegt, existieren 3 Übergänge:
      n = 5 nach n = 2, n = 4 nach n = 2 und n = 3 nach n = 2.
      
      

      λmin =	hc	=	4,14⋅10-15 ⋅ 3,0⋅108	m = 9,51⋅10-8m
      	Emax		13,056

   5. 1,9% von 36⋅10^-3W = 6,8⋅10^-4W
      
      

      Ephoton =	hc	=	6,63⋅10-34 ⋅ 3,0⋅108	J = 4,58⋅10-19J
      	λ		434⋅10-9

      N	=	P	=	6,8⋅10-4	s-1 = 1,48⋅1015s-1
      1s		Ephoton		4,58⋅10-19

   6. H-Gas wird in der Röhre mit 3,0kV angeregt und durch ein Spektrometer (enthält ein Glasprisma) beobachtet.
7. 1. Energiestufen des H-Atoms und Differenzen zum Grundzustand (n=1):
      
      Die Formel für die Bahnenergien lautet:
      

      En =	-13,6 eV
      	n2

      Daraus ergeben sich folgende Niveaus und Energiedifferenzen

      n	En in eV	ΔE zu n=1 in eV
      1	-13,6	0
      2	-3,4	10,2
      3	-1,51	12,09
      4	-0,85	12,75
      5	-0,544	13,056

      
      H-Elektronen im Grundzustand benötigen also mindestens 10,2eV, um auf eine höhere Bahn zu springen.
   2. 10,0eV übertrifft jedem Bahnwechsel von -3,4eV nach oben, also sind alle Bahnwechsel möglich. Übertrifft der vom äußeren Elektron übertragene Energiewert 3,4eV, so wird das H-Atom sogar ionisiert.
   3. Die Elektronen gegen eine Spannung anlaufen lassen und den Auffangstrom messen. Wurde die Spannung der kinetischen Energie der Elektronen entsprechend erhöht, dann wird kein Stromfluss mehr stattfinden.
   4. Elektronen mit 10,0eV haben elastische oder keine Stöße im Wasserstoffgas durchgeführt.
      Elektronen mit 8,1eV haben die H-Atome mit 1,9eV angeregt, das entspricht einem Bahnwechsel von die 2. auf die 3.Bahn.
      Elektronen mit 7,5eV haben die H-Atome mit 2,5eV angeregt, das enstpricht einem Bahnwechsel von der 2. auf die 4. Bahn.
   5. Das vom H-Atom eingefangene Elektron gibt seine kinetische Energie vollständig ab und verliert zusätzlich 0,75eV. Da die kinetische Energie vorher beliebig gewesen sein kann, treten beliebige Linien beim Einfang auf. (Keine Begrenzung des Spektrums zu kurzen Wellenlängen)
      Da das Elektron vorher ungebunen war, kann es minimal 0eV kinetische Energie besessen haben (ruhend). Dann werden genau noch 0,75eV bei der Bindung des Elektrons frei. (Geringste freiwerdende Energie)
      => es existiert eine langwellige Grenze des Spektrums bei
      

      λmax =	hc	=	4,14⋅10-15 ⋅ 3,0⋅108	m = 1,66⋅10-6m
      	ΔEmin		0,75