« Das Rechteck als Termumformer

Bestimme den Flächeninhalt des jeweils angegebenen Rechtecks auf zwei verschiedene Arten:



	Länge	Breite
a)	a	d+e
b)	a+b	d+e
c)	a+b+c	d+e+f

Planfigur:





a)	a · (d+e)	=	a·d + a·e
b)	(a+b) · (d+e)	=	a·d + a·e + b·d + b·e
c)	(a+b+c) · (d+e+f)	=	a·d + a·e + a·e + b·d + b·e + b·e + c·d + c·e + c·e

« Multiplikation von Summen

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Merke:
Man multipliziert zwei Summen in dem gliedweise ausmultipliziert und die Gesamtsumme bildet.

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« Vorzeichen

Betrachte die Fläche des gelben Rechtecks:



Es gilt: (a - b)·(d - c) = (+a - b)·(-c + d) = ad - ac - bd + bc



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Merke:
Bei der gliedweise Multiplikation gelten die üblichen Vorzeichenregeln.

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« Binomische Formeln

Noch einmal spezielle Rechtecksflächen:

Die Zusammenhänge lassen sich auch durch bekannte algebraische Umformungen erreichen:

(a + b)² = (a+b)(a+b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = (a-b)(a-b) = a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b²



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Alle binomischen Formeln:

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
(a + b)(a - b) = a² - b²


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« Aufgaben

1. BF (binomische Formeln) einfach:
   

   a) (x+y)²

   b) (x-1)²

   c) (2z+1)²

   d) (z+2)(z-2)

   
   
2. BF mit Zahlenfaktoren:
   

   a) (2x + 3y)²	b) (2,5x - 0,5y)²
   c) (1,2u - 1,5v)(1,2u + 1,5v)	d) (8a - 0,25b)(8a + 0,25b)

3. BF mit mehreren Faktoren:
   

   a) (25xy - 3y)²	b) (12a + 15xy)²
   c) (1,1uv - 1,5uw)²	d) (8ab - 9bc)(8ab + 9bc)

4. BF mit Faktor vor der Klammer:
   

   a) 2 · (x + 1)²	b) a · (a - b)²
   c) 2ab · (a + ab)²	d) 0,5a² · (a - 2b)(a + 2b)

5. BF mit Potenzen:
   

   a) (5x² - 6y)²	b) (2a³ + 5xy²)²
   c) (1,7uv² - 1,5u²w³)²	d) (8a² - 9b²)(8a² + 9b²)

6. Terme mit BF:
   

   a) (2u² - 9v²) + (2u² + 9v²)	b) (x + y) · (x - y) - (x + y)²
   c) (4a + 5b)² - (5a + 4b)²	d) (8a - 9b)(9a - 8b) + 72ab

7. Berechne den Flächeninhalt des Quadrates als Summe seiner Teilflächen
   Beispiel: Seitenlänge (u + v);
   A = (u + v)(u + v) = u² + 2uv + v²

   a) Seitenlänge: 2a + 3b	b) Seitenlänge: 2u - 3v
   c) Seitenlänge: a + b + c	d) Seitenlänge: 2x + 3y + 4z

8. Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks als Summe seiner Teilflächen
   

   a) Länge: a - 2x; Breite: a + 2x	b) Länge: 2u - 3v; Breite 2u + 3v
   c) Länge: 3a - (2b+4c);     Breite: 3a + (2b+4c)	d) Länge: (x+y) - (u+v);     Breite:(x+y) + (u+v)

9. Satz des Pythagoras. Bei einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadratflächen über den Katheten gleich der Quadratfläche über der Hypothenuse (Die violette Fläche enstspricht der gelben).
   
   Berechne die Fläche c² des Quadrates über der Hypothenuse, wenn die Katheten folgende Seitenlängen aufweisen:

   a) a = x + y; b = x - y;	b) a = u - v; b = u + v;
   c) a = (x + y + z); b = (x - y);	d) a = (2x + 3y) b = (x - 3y);

« Lösungen

1. BF einfach:
   a) x² + 2xy + y²     b) x² - 2x + 1     c) 4z² + 4z + 1     d) z² - 4
   
   
2. BF mit Zahlenfaktoren:
   a) 4x² + 12xy + 9y²    b) 6,25x² - 2,5xy + 0,25y²     c) 1,44u² - 2,25v²     d) 64a² - 0,0625b²
   
   
3. BF mit mehreren Faktoren:
   a) 625x²y² - 150xy² + 9y²    b) 144a² + 360axy + 225x²y²    c) 1,21u²v² - 3,3u²vw + 2,25u²w²    d) 64a²b² - 81b²c²
   
   
4. BF mit Faktor vor der Klammer:
   a) 2x² + 4x + 2     b) a³ - 2a²b + ab²    c) 2a³b + 4a³b² + 2a³b³     d) 0,5a³ - 2a²b²   
   
   
5. BF mit Potenzen:
   a) 25x⁴ - 60x²y + 36y²    b) 4a⁶ + 20a³xy² + 25x²y⁴    c) 2,89u²v⁴ - 5,1u³v²w³ +2,25u⁴w⁶     d) 64a⁴ - 81b⁴   
   
   
6. Terme mit BF:
   

   a) 8u4 + 81v4	b) -2xy - 2y²
   c) -9a² + 9b²	d) 72a² + 97ab - 72b²

7. Berechne den Flächeninhalt des Quadrates als Summe seiner Teilflächen
   

   a) A = (2a + 3b)2 = 4a2 + 12ab + 9b2	b) A = (2u - 3v)2 = 4u2 - 12uv + 9v2
   c) A = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
   d) A = (2x + 3y + 4z)2 = 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy + 16xz + 24yz

8. Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks als Summe seiner Teilflächen
   

   a) A = (a - 2x)(a + 2x) = a2 - 4x2	b) A = (2u - 3v)(2u + 3v) = 4u2 - 9v2
   c) Länge: 3a - (2b+4c);     Breite: 3a + (2b+4c)	d) Länge: (x+y) - (u+v);     Breite:(x+y) + (u+v)

9. Pythagoras:
   a) (x+y)² + (x-y)² = x² + 2xy + y² + x² - 2xy + y² = 2x² + 2y²
   b) (u-v)² + (u+v)² = 2u² + 2v²
   c) (x+y+z)² + (x-y)² = x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz + x² -2xy + y² = 2x² + 2y² + z² + 2xz + 2yz
   d) wird noch bearbeitet!